Se r(t)=lang<=(t-2)^3, e^3 t+1, 1 / trang<=, calcule integral1^2 r(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial r(t) = lang<=(t-2)^3, e^3 t+1, 1trang<= e precisa calcular a integral dessa função de t = 1 até t = 2. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integração de funções vetoriais. Para isso, vamos integrar cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função vetorial. Quando temos uma função vetorial r(t) = lang<= f(t), g(t), h(t) rang<=, a integral dela de a até b é dada por:
integrala^b r(t) , dt = lang<= integrala^b f(t) , dt, integrala^b g(t) , dt, integrala^b h(t) , dt rang<=
Isso significa que a gente integra cada componente da função separadamente.

Passo 3

Vamos identificar as três componentes da nossa função vetorial:
  1. f(t) = (t - 2)^3
  2. g(t) = e^3t + 1
  3. h(t) = 1t
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais de t = 1 até t = 2.
Integral de f(t) = (t - 2)^3:
integral1^2 (t - 2)^3 , dt
Vamos fazer uma substituição simples: deixe u = t - 2, então du = dt. A integral fica:
integral-1^0 u^3 , du = [ u^44 ]-1^0 = 0^44 - (-1)^44 = 0 - 14 = -14
Integral de g(t) = e^3t + 1:
integral1^2 e^3t + 1 , dt
Aqui, fazemos a substituição u = 3t + 1, então du = 3 , dt ou dt = du3. A integral fica:
13 integral4^7 e^u , du = 13 [ e^u ]4^7 = 13 ( e^7 - e^4 )
Integral de h(t) = 1t:
integral1^2 1t , dt
Sabemos que a integral de 1t é o logaritmo natural:
[ ln |t| ]1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2 - 0 = ln 2

Resposta

Portanto, a integral da função vetorial de t = 1 até t = 2 é:
integral1^2 r(t) , dt = lang<= -14, e^7 - e^43, ln 2 rang<=

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