Determine a solução geral das edos Homogêneas:
x+4 y+2 x d yd x=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x + 4y + 2x dydx = 0
Isso é uma equação de primeira ordem e linear no formato
dydx + P(x),y = Q(x)
Vamos reescrevê-la nesse formato e resolver usando fator integrante.

Passo 2

Primeiro isolamos dfracdydx. Partindo de
x + 4y + 2x dydx = 0
temos
2x dydx + 4y = -,x Longrightarrow dydx + 42x,y = -x2x
ou seja
dydx + 2x,y = -12

Passo 3

Identificamos
P(x)=2x, Q(x)=-12
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral 2x,dxr) = expl(2ln|x|r) = x^2
Multiplicando a equação original por x^2 obtemos
x^2dydx + 2x,y = -x^22

Passo 4

O lado esquerdo é a derivada do produto x^2y, pois
ddxl(x^2yr) = x^2dydx + 2x,y
Logo
ddxl(x^2yr) = -x^22
Integrando em ambos os lados:
x^2y = -integral x^22,dx = -12,x^33 + C = -x^36 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, vem
y = -x^36,x^2 + Cx^2 = -x6 + C,x^-2

Resposta

y(x) = -x6 + C,x^-2,
com C constante arbitrária.

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