Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole y^216-x^29=1.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
y^216-x^29=1
e pede os vértices, os focos e as assíntotas. Aqui o conteúdo é a identificação dos parâmetros de uma hipérbole em posição canônica e a fórmula das suas características.

Passo 2

Reconhecemos que a hipérbole está na forma
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
com a^2=16 e b^2=9. Logo
a = 4, b = 3
Como o termo positivo é o de y^2, o eixo transverso é vertical.

Passo 3

Os vértices ficam sobre o eixo y, à distância a do centro (0,0). Assim,
vértices: (0,pm a)=(0,pm 4) é

Passo 4

Os focos estão também sobre o eixo y, a uma distância c do centro, onde
c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25
portanto c=5. Logo
focos: (0,pm c)=(0,pm 5)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole vertical centrada na origem têm equações
y = pm ab,x
Substituindo a=4 e b=3, obtemos
assíntotas: y = pm 43,x í

Resposta

vértices: (0,4) e (0,-4)
focos: (0,5) e (0,-5)
assíntotas: y=tfrac43x e y=-tfrac43x

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