Determine se a integral é convergente ou divergente. E calcule seu valor caso seja convergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar envolve tratamento de singularidade no ponto
e uso de antiderivada de
.
Passo 2
Como
fica singular em
(pois
), reescrevemos a integral como limite
Passo 3
Calculamos a antiderivada de
. Sabemos que
logo
Passo 4
Avaliamo este primitivo entre
0 e
b :
Como
cos(0)=1 , o termo em
x=0 some.
Passo 5
Agora olhamos o limite quando
btotfracpi2^- . Como
cos(b)to0^+ , temos
ln(cos(b))to-infty e assim
Portanto o valor da integral explode.
Resposta
A integral diverge (é divergente).