Determine se a integral é convergente ou divergente. E calcule seu valor caso seja convergente.
integral0^pi2 tg(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria
integral0^pi2tan(x),dx
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar envolve tratamento de singularidade no ponto x=tfracpi2 e uso de antiderivada de tan(x).

Passo 2

Como tan(x)=dfracsin(x)cos(x) fica singular em x=tfracpi2 (pois cos(tfracpi2)=0), reescrevemos a integral como limite
integral0^pi2tan(x),dx =limbtopi2^-integral0^btan(x),dx

Passo 3

Calculamos a antiderivada de tan(x). Sabemos que
ddxl(-ln|cos(x)|r) =sin(x)cos(x) =tan(x),
logo
integraltan(x),dx =-lnl|cos(x)r|+C

Passo 4

Avaliamo este primitivo entre 0 e b:
integral0^btan(x),dx =l[-lnl|cos(x)r|r]0^b =-lnl|cos(b)r| - l(-lnl|cos(0)r|r) =-lnl|cos(b)r|
Como cos(0)=1, o termo em x=0 some.

Passo 5

Agora olhamos o limite quando btotfracpi2^-. Como cos(b)to0^+, temos ln(cos(b))to-infty e assim
-lnl(cos(b)r)to+infty
Portanto o valor da integral explode.

Resposta

A integral diverge (é divergente).

Exercícios relacionados