Se f(x, y)=x^3+x y^2-2 y^3, encontre fx(2,1) e fy(2,1).

Passo 1

Beleza, a gente tem a função f(x, y) = x^3 + x y^2 - 2 y^3 e precisa encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a x e y no ponto (2, 1) . Isso envolve o conteúdo de derivadas parciais, que são usadas quando a função tem mais de uma variável. Vamos precisar calcular fx(2,1) e fy(2,1) .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que é fx(x, y) . Para isso, tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x .
A função é:
f(x, y) = x^3 + x y^2 - 2 y^3
Derivando termo a termo em relação a x :
  • A derivada de x^3 em relação a x é 3x^2 .
  • A derivada de x y^2 em relação a x é y^2 (já que y^2 é constante).
  • A derivada de -2 y^3 em relação a x é 0 (pois não tem x ).
Então:
fx(x, y) = 3x^2 + y^2

Passo 3

Agora, vamos calcular fx(2,1) substituindo x = 2 e y = 1 na expressão que encontramos:
fx(2,1) = 3(2)^2 + (1)^2 = 3 times 4 + 1 = 12 + 1 = 13

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , que é fy(x, y) . Aqui, tratamos x como uma constante e derivamos em relação a y .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de x^3 em relação a y é 0 (já que não tem y ).
  • A derivada de x y^2 em relação a y é 2x y (usando a regra do poder).
  • A derivada de -2 y^3 em relação a y é -6 y^2 .
Então:
fy(x, y) = 2x y - 6 y^2

Passo 5

Agora, vamos calcular fy(2,1) substituindo x = 2 e y = 1 na expressão que encontramos:
fy(2,1) = 2 times 2 times 1 - 6 times (1)^2 = 4 - 6 = -2

Resposta

As derivadas parciais no ponto (2,1) são:
fx(2,1) = 13
fy(2,1) = -2

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