Calcule integral xraiz3-2 x-x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xraiz3 - 2x - x^2,dx
O conteúdo principal aqui é tratar a raiz de um polinômio quadrático completando o quadrado e depois usar substituição para resolver.

Passo 2

Vamos completar o quadrado do que está dentro da raiz:
3 - 2x - x^2 = -(x^2 + 2x - 3) = -l((x+1)^2 - 4r) = 4 - (x+1)^2
Logo a integral vira
integral xraiz4 - (x+1)^2,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
t = x + 1 Longrightarrow x = t - 1, dx = dt
Então o numerador x fica t - 1 e a raiz é raiz4 - t^2. A integral passa a ser
integral t - 1raiz4 - t^2,dt = integral traiz4 - t^2,dt ;-; integral 1raiz4 - t^2,dt

Passo 4

Agora calculamos cada parcela:
  1. Para integral traiz4 - t^2,dt, note que
    ddt!l(raiz4 - t^2r) = -traiz4 - t^2,
    logo
    integral traiz4 - t^2,dt = -raiz4 - t^2
  2. Para integral 1raiz4 - t^2,dt, é a forma padrão de arco seno:
    integral 1raiz4 - t^2,dt = arcsin!l(tfract2r)
Assim a integral em t é
-raiz4 - t^2 ;-; arcsin!l(tfract2r) + C

Passo 5

Voltando a variável original x, lembrando que t = x + 1 e que
4 - t^2 = 4 - (x+1)^2 = 3 - 2x - x^2,
ficamos com
-raiz3 - 2x - x^2 ;-; arcsin!l(tfracx+12r) + C

Resposta

-raiz3 - 2x - x^2 ;-; arcsin!l(tfracx+12r) + C

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