Exercício 5: Teste do Termo Geral (com limite diferente de zero)

Verifique se a série
sumn=1^infty 2 n+13 n+2
converge ou diverge analisando o limite do termo geral an.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a série
sumn=1^infty 2n+13n+2
converge ou diverge. A matéria que estamos usando aqui é a análise de séries infinitas, especificamente o Teste do Termo Geral. Para isso, vamos precisar calcular o limite do termo geral an = 2n+13n+2 quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste do Termo Geral. Esse teste diz que se o limite do termo geral an de uma série não for zero, ou seja,
limn to infty an neq 0,
então a série diverge. É uma ferramenta bem útil para rapidamente identificar se uma série não pode convergir.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Precisamos calcular o limite de
an = 2n+13n+2
quando n vai para o infinito.

Passo 4

Para calcular esse limite, observamos que os termos de maior grau no numerador e no denominador são 2n e 3n, respectivamente. Então, simplificamos dividindo tanto o numerador quanto o denominador por n:
limn to infty 2n+13n+2 = limn to infty 2 + 1n3 + 2n
À medida que n cresce, os termos 1n e 2n tendem a zero. Portanto, o limite fica:
2 + 03 + 0 = 23

Passo 5

Como o limite do termo geral an é 23, que não é zero, de acordo com o Teste do Termo Geral, podemos concluir que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2n+13n+2 diverge.

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