Exercício 5: Teste do Termo Geral (com limite diferente de zero)
Verifique se a série
converge ou diverge analisando o limite do termo geral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a série
converge ou diverge. A matéria que estamos usando aqui é a análise de séries infinitas, especificamente o Teste do Termo Geral. Para isso, vamos precisar calcular o limite do termo geral
quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste do Termo Geral. Esse teste diz que se o limite do termo geral
de uma série não for zero, ou seja,
então a série diverge. É uma ferramenta bem útil para rapidamente identificar se uma série não pode convergir.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Precisamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito.
Passo 4
Para calcular esse limite, observamos que os termos de maior grau no numerador e no denominador são
e
, respectivamente. Então, simplificamos dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
:
À medida que
cresce, os termos
e
tendem a zero. Portanto, o limite fica:
Passo 5
Como o limite do termo geral
é
, que não é zero, de acordo com o Teste do Termo Geral, podemos concluir que a série diverge.
Resposta
A série
diverge.