Considere a função f(t) abaixo: Para t<4:
f(t)=1
Para 4 <= t
f(t)=-2
Considere o PVI abaixo.
y^prime prime-y^prime-2 y=f(t), y(0)=0, y^prime prime(0)=0
A solução y(t) do PVI da letra b) escreve-se como y(t)=g(t)+k * uc(t) * g(t-c) para constantes k, c e uma função g(t). Determine os valores de k, c e a função g(t) que satisfazem a relação acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem com uma função forçadora que muda de valor dependendo do tempo t . O conteúdo principal aqui envolve resolver uma equação diferencial linear não homogênea usando condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com equações diferenciais lineares, funções de Heaviside (ou degrau) e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
com condições iniciais:
Aqui, [f(t)) é uma função definida por partes:
Vamos resolver essa equação em duas partes: para .

Passo 3

Para resolver a equação diferencial, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y'' - y' - 2y = 0
Resolvemos a equação característica:
r^2 - r - 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 Rightarrow r1 = 2 e r2 = -1
Então, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-t
onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação não homogênea:
y'' - y' - 2y = f(t)
Como f(t) é uma função constante para cada intervalo de t , tentamos uma solução particular constante para cada intervalo.
Para t < 4 , f(t) = 1 . Assumimos yp(t) = A , uma constante. Derivando:
yp' = 0 e yp'' = 0
Substituindo na equação:
0 - 0 - 2A = 1 Rightarrow -2A = 1 Rightarrow A = -12
Então, para t < 4 :
yp(t) = -12

Passo 5

Para t >= 4 , f(t) = -2 . Novamente, tentamos uma solução particular constante yp(t) = B . Derivando:
yp' = 0 e yp'' = 0
Substituindo na equação:
0 - 0 - 2B = -2 Rightarrow -2B = -2 Rightarrow B = 1
Então, para t >= 4 :
yp(t) = 1

Passo 6

Com as soluções particulares encontradas, a solução geral da equação não homogênea é:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2t + C2 e^-t + yp(t)
Para t < 4 :
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t - 12
Para t >= 4 :
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t + 1

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 para encontrar C1 e C2 .
Primeiro, para t < 4 :
y(0) = C1 + C2 - 12 = 0 Rightarrow C1 + C2 = 12 (Equação 1) çã
Derivando y(t) :
y'(t) = 2C1 e^2t - C2 e^-t
Então, em t = 0 :
y'(0) = 2C1 - C2 = 0 Rightarrow 2C1 = C2 (Equação 2) çã
Resolvendo o sistema de Equações 1 e 2:
C1 + 2C1 = 12 Rightarrow 3C1 = 12 Rightarrow C1 = 16 e C2 = 13

Passo 8

Agora, temos as constantes C1 = 16 e C2 = 13 . Substituindo de volta na solução geral:
Para t < 4 :
y(t) = 16 e^2t + 13 e^-t - 12
Para t >= 4 :
y(t) = 16 e^2t + 13 e^-t + 1

Passo 9

Queremos escrever a solução na forma y(t) = g(t) + k cdot uc(t) cdot g(t - c) , onde uc(t) é a função degrau de Heaviside que vale 0 para t < c e 1 para t >= c . Observando nossa solução, percebemos que a mudança ocorre em t = 4 . Então, c = 4 .
A função g(t) será a solução para t < 4 :
g(t) = 16 e^2t + 13 e^-t - 12
Para t >= 4 , adicionamos k cdot g(t - 4) . Comparando com nossa solução para t >= 4 :
16 e^2t + 13 e^-t + 1 = ( 16 e^2t + 13 e^-t - 12 ) + k cdot g(t - 4)
Então, k cdot g(t - 4) = 1 + 12 = 32 . Se assumirmos que g(t) é a parte constante, então k = 32 .

Passo 10

Então, resumindo:
c = 4
k = 32
g(t) = 16 e^2t + 13 e^-t - 12
Portanto, a solução y(t) pode ser escrita como:
y(t) = ( 16 e^2t + 13 e^-t - 12 ) + 32 cdot u4(t) cdot ( 16 e^2(t - 4) + 13 e^-(t - 4) - 12 )

Resposta

Os valores que satisfazem a relação são:
k = 32, c = 4, e g(t) = 16 e^2t + 13 e^-t - 12

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