Se f:[a, b] R é contínua, derivável em (a, b) e f^prime(x)>0, x in(a, b), então f é estritamente crescente em [a, b]. (1 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função f que é contínua no intervalo [a, b] e derivável dentro desse intervalo, ou seja, em (a, b). Além disso, a derivada de f , que é f'(x) , é sempre maior que zero nesse intervalo. O objetivo é mostrar que, com essas condições, a função f é estritamente crescente em todo o intervalo [a, b]. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e como elas se relacionam com o comportamento crescente ou decrescente das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função é estritamente crescente. Isso quer dizer que, se pegarmos dois pontos quaisquer x1 e x2 no intervalo [a, b] com x1 < x2 , então f(x1) < f(x2) .

Passo 3

Agora, vamos considerar a derivada f'(x) . Se a derivada de uma função é positiva em todo o intervalo onde ela é derivável, isso indica que a função está aumentando nesse intervalo. Ou seja, para qualquer pequeno aumento em x , o valor de f(x) também aumenta.

Passo 4

Como a função f é contínua em [a, b] e derivável em (a, b) com f'(x) > 0 para todo x em (a, b), podemos concluir que não há pontos onde a função para de crescer ou começa a decrescer dentro desse intervalo. Portanto, a função está sempre subindo.

Resposta

Assim, concluímos que a função f é estritamente crescente em [a, b].

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