Se
é contínua, derivável em
e
, então
é estritamente crescente em
. (1 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que é contínua no intervalo
e derivável dentro desse intervalo, ou seja, em
. Além disso, a derivada de
, que é
, é sempre maior que zero nesse intervalo. O objetivo é mostrar que, com essas condições, a função
é estritamente crescente em todo o intervalo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e como elas se relacionam com o comportamento crescente ou decrescente das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função é estritamente crescente. Isso quer dizer que, se pegarmos dois pontos quaisquer
e
no intervalo
com
, então
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a derivada
. Se a derivada de uma função é positiva em todo o intervalo onde ela é derivável, isso indica que a função está aumentando nesse intervalo. Ou seja, para qualquer pequeno aumento em
, o valor de
também aumenta.
Passo 4
Como a função
é contínua em
e derivável em
com
para todo
em
, podemos concluir que não há pontos onde a função para de crescer ou começa a decrescer dentro desse intervalo. Portanto, a função está sempre subindo.
Resposta
Assim, concluímos que a função
é estritamente crescente em
.