Calcule f^prime(x).
f(x)=xx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de f(x) = xx^2 + 1 . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente utilizando a regra do quociente para derivadas. Essa regra é útil quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão no numerador e no denominador. No nosso caso:
  • Numerador ( u(x) ): x
  • Denominador ( v(x) ): x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas dessas duas funções individualmente:
  • Derivada de u(x) em relação a x :
u'(x) = ddx [x] = 1
  • Derivada de v(x) em relação a x :
v'(x) = ddx [x^2 + 1] = 2x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente, que diz que a derivada de uv é:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = 1 cdot (x^2 + 1) - x cdot 2x(x^2 + 1)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
1 cdot (x^2 + 1) - x cdot 2x = x^2 + 1 - 2x^2 = -x^2 + 1
Então, a derivada fica:
f'(x) = -x^2 + 1(x^2 + 1)^2

Resposta

A derivada de f(x) = xx^2 + 1 é:
f^prime(x) = 1 - x^2(x^2 + 1)^2

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