Determine as integrais indefinidas abaixo
integral x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x(x^2+1)^3 , dx. Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição para facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, onde escolhemos uma parte da integral para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Observando a função, vemos que o denominador é (x^2 + 1)^3 e o numerador é x. Isso sugere que podemos deixar u = x^2 + 1, já que a derivada de u em relação a x aparece no numerador.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Perceba que no numerador da nossa integral temos x , dx, e queremos expressá-lo em termos de du. Podemos reescrever x , dx a partir da equação acima:
x , dx = du2

Passo 4

Substituindo u e x , dx na integral original, temos:
integral x(x^2 + 1)^3 , dx = integral 1u^3 cdot du2 = 12 integral u^-3 , du
Agora, a integral está mais simples e podemos integrá-la usando a regra de potência para integrais.

Passo 5

Integrando u^-3 em relação a u:
integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C
Multiplicando pelo fator 12 que tínhamos antes:
12 cdot (-12u^2) = -14u^2 + C

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original substituindo u = x^2 + 1:
-14u^2 + C = -14(x^2 + 1)^2 + C

Resposta

Portanto, a integral integral x(x^2+1)^3 , dx é igual a:
-14(x^2+1)^2 + C

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