Calcule os limites abaixo:
lim x 0 1-raiz1-x^2x^2

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo: precisamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da expressão x . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites e técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 0 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
x = 0
Isso resulta em uma forma indeterminada ( 1 - raiz1 - 0^20^2 = 1 - 10 = 00 ), o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. No caso, o conjugado de 1 - raiz1 - x^2 é 1 + raiz1 - x^2. Vamos fazer essa multiplicação:
1 - raiz1 - x^2x^2 times 1 + raiz1 - x^21 + raiz1 - x^2

Passo 4

Agora, multiplicamos os numeradores e os denominadores:
(1 - raiz1 - x^2)(1 + raiz1 - x^2)x^2(1 + raiz1 - x^2)
No numerador, aplicamos a identidade $ (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2} $:
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
Portanto, a expressão fica:
1^2 - (raiz1 - x^2)^2 = 1 - (1 - x^2) = x^2

Passo 5

Simplificamos $ x^{2} $ no numerador e no denominador:
x^2
Agora, a expressão está mais simples e podemos calcular o limite.

Passo 6

Substituímos $ x = 0 $ na expressão simplificada:
x = 0

Resposta

O limite é igual a $ \dfrac{1}{2} $.

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