pontos
Calcule
, onde C é a curva fechada que consiste nos gráficos de
e
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha fechada
, onde a curva
é formada pelos gráficos das funções
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral de linha. Aqui,
e
. O Teorema de Green nos diz que:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Passo 5
Agora, precisamos determinar a região
limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas:
Então, a região
é para
entre 0 e 1, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 6
Vamos configurar a integral dupla:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Vamos simplificar isso:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Resposta
O valor da integral fechada é
.