(2,5pontos ) Calcule ointC x y d x+x^3 d y, onde C é a curva fechada que consiste nos gráficos de y=x^2 e y=x :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha fechada ointC x y , dx + x^3 , dy, onde a curva C é formada pelos gráficos das funções y = x^2 e y = x. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x,y) e N(x,y) na integral de linha. Aqui, M(x,y) = x y e N(x,y) = x^3. O Teorema de Green nos diz que:
ointC M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) , dA

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partialpartial x (x^3) = 3x^2
partial Mpartial y = partialpartial y (x y) = x

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointC x y , dx + x^3 , dy = integral duplaD (3x^2 - x) , dA

Passo 5

Agora, precisamos determinar a região D limitada pelas curvas y = x^2 e y = x. Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas:
x^2 = x Rightarrow x^2 - x = 0 Rightarrow x(x - 1) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = 1
Então, a região D é para x entre 0 e 1, e para cada x, y varia de x^2 a x.

Passo 6

Vamos configurar a integral dupla:
integral duplaD (3x^2 - x) , dA = integral0^1 integralx^2^x (3x^2 - x) , dy , dx

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a y:
integralx^2^x (3x^2 - x) , dy = (3x^2 - x) cdot (x - x^2) = (3x^2 - x)(x - x^2)
Vamos simplificar isso:
(3x^2 - x)(x - x^2) = 3x^3 - 3x^4 - x^2 + x^3 = 4x^3 - 3x^4 - x^2

Passo 8

Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 (4x^3 - 3x^4 - x^2) , dx = [ x^4 - 35x^5 - 13x^3 ]0^1
Substituindo os limites:
(1^4 - 351^5 - 131^3) - (0 - 0 - 0) = 1 - 35 - 13 = 1515 - 915 - 515 = 115

Resposta

O valor da integral fechada é dfrac115.

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