Calcule:
integral2^+infty d xx ln ^2 x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
integral2^+infty dxxln^2 x.
Aqui vamos usar a técnica de substituição para encontrar a antiderivada e depois avaliar o limite no infinito para verificar a convergência.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = ln x, du = dxx
Com isso
integral dxxln^2 x = integral 1u^2,du = integral u^-2,du = -,u^-1 + C = -,1ln x + C

Passo 3

Para avaliar a integral imprópria, escrevemos
integral2^+infty dxxln^2 x = limbto+infty[-1ln x]2^b = limbto+inftyl(-tfrac1ln b + tfrac1ln 2r)
Como ln bto+infty implica tfrac1ln bto 0, sobra
1ln 2

Resposta

1ln 2

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