Na questão, queremos calcular a integral imprópria . O conteúdo envolve integral imprópria e técnica de integração por partes para funções exponenciais vezes senoidais.
Passo 2
Reescrevemos a integral como limite de integrais definidas: . A convergência é garantida pelo fator que domina o comportamento de no infinito.
Passo 3
Chamemos . Aplicamos integração por partes escolhendo e , então e . Obtemos:
Passo 4
Para calcular integral0^A e^-tcos t,dt, fazemos outra integração por partes com u = cos t e dv = e^-t dt, resultando em
integral0^A e^-tcos t,dt = -e^-tcos t|0^A - I
Substituindo em I e agrupando termos chegamos a
2I = -e^-t(sin t + cos t)|0^A,
ou seja
I = -e^-t2(sin t + cos t)|0^A = -e^-A2(sin A + cos A) + 12
Passo 5
Tomando o limite A to +infty, o termo com e^-A tende a zero. Logo