Calcule:
integral0^+infty e^-t sen t d t

Passo 1

Na questão, queremos calcular a integral imprópria integral0^+infty e^-tsin t,dt. O conteúdo envolve integral imprópria e técnica de integração por partes para funções exponenciais vezes senoidais.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de integrais definidas: integral0^+infty e^-tsin t,dt = limA to +infty integral0^A e^-tsin t,dt. A convergência é garantida pelo fator e^-t que domina o comportamento de sin t no infinito.

Passo 3

Chamemos I = integral0^A e^-tsin t,dt. Aplicamos integração por partes escolhendo u = sin t e dv = e^-t dt, então du = cos t,dt e v = -e^-t. Obtemos:
I = -e^-tsin t|0^A + integral0^A e^-tcos t,dt

Passo 4

Para calcular integral0^A e^-tcos t,dt, fazemos outra integração por partes com u = cos t e dv = e^-t dt, resultando em
integral0^A e^-tcos t,dt = -e^-tcos t|0^A - I
Substituindo em I e agrupando termos chegamos a
2I = -e^-t(sin t + cos t)|0^A,
ou seja
I = -e^-t2(sin t + cos t)|0^A = -e^-A2(sin A + cos A) + 12

Passo 5

Tomando o limite A to +infty, o termo com e^-A tende a zero. Logo
integral0^+infty e^-tsin t,dt = 12

Resposta

12

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