Considere a função g(x)=-integralsin (x)^0 raizt^3+1 d t. Calcule g^prime(x).

Passo 1

O enunciado define
g(x) = -integralsin(x)^0 raizt^3+1,dt
e pede g'(x). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) junto com a regra da cadeia para funções de limite variável.

Passo 2

Primeiro, trocamos os limites para ter a forma padrão integral0^u(x). Note que
integralsin(x)^0 raizt^3+1,dt = -integral0^sin(x) raizt^3+1,dt,
portanto
g(x) = -l(-integral0^sin(x) raizt^3+1,dtr) = integral0^sin(x) raizt^3+1,dt

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula
ddxintegral0^u(x) f(t),dt = fl(u(x)r),u'(x)
Aqui f(t)=raizt^3+1 e u(x)=sin(x). Logo
g'(x) = raizl(sin(x)r)^3+1,cdotddxl(sin(x)r) = raizsin^3(x)+1,cos(x)

Resposta

g'(x)=raizsin^3(x)+1,cos(x)

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