(Problema de valor inicial) Determine a curva y cujo coeficiente angular da reta tangente no ponto (x, y) é 3 x^2, sabendo que ela passa pelo ponto (1,-1).

Passo 1

O enunciado define um problema de valor inicial em que o coeficiente angular da reta tangente a uma curva y(x) é dado por
dydx=3x^2
e sabemos que a curva passa pelo ponto (1,-1). Para resolver, vamos integrar a equação diferencial e depois usar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Integramos dydx=3x^2 em relação a x. Isso nos leva a
y(x)=integral 3x^2,dx=x^3+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Para determinar C, usamos a condição inicial y(1)=-1. Substituindo x=1 em y(x)=x^3+C, obtemos
1^3+C=-1 Longrightarrow C=-2

Resposta

A curva buscada é
y(x)=x^3-2

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