EXERCÍCIOS 1 - GAAL - 08/04/2025
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Considere:
(a) Mostre que o sistema A X=B tem solução única.
(b) Determine explicitamente a solução do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz A e um vetor B . A gente precisa resolver o sistema de equações A X = B . O conteúdo aqui envolve matrizes e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar entender se a matriz A é invertível (ou seja, se ela tem solução única) e, se sim, encontrar essa solução.
Passo 2
Primeiro, para mostrar que o sistema A X = B tem solução única, precisamos verificar se a matriz A é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz A :
A = 1 & -1 & 1 0 & -2 & 2 0 & 0 & -2
Como A é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 1 times (-2) times (-2) = 4
Como o determinante é 4, que é diferente de zero, isso significa que a matriz A é inversível.
Passo 4
Como A é inversível, o sistema A X = B tem solução única. Isso responde à parte (a) do exercício.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b) e encontrar a solução explícita do sistema. Para isso, podemos usar a matriz inversa de A , chamada A^-1 , e multiplicá-la pelo vetor B :
X = A^-1 B
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Como A é triangular, a inversa também será triangular. Podemos calcular A^-1 passo a passo:
A^-1 = 1 & 0.5 & 0 0 & -0.5 & -0.5 0 & 0 & -0.5
(Observação: O cálculo detalhado da inversa envolve técnicas de álgebra linear como a matriz adjunta ou métodos de eliminação, mas aqui simplificamos para facilitar o entendimento.)