EXERCÍCIOS 1 - GAAL - 08/04/2025
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Considere:
A=(rrr 1 & -1 & 1 0 & -2 & 2 0 & 0 & -2 ) e B=(r 1 2 -1 )
(a) Mostre que o sistema A X=B tem solução única.
(b) Determine explicitamente a solução do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz A e um vetor B . A gente precisa resolver o sistema de equações A X = B . O conteúdo aqui envolve matrizes e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar entender se a matriz A é invertível (ou seja, se ela tem solução única) e, se sim, encontrar essa solução.

Passo 2

Primeiro, para mostrar que o sistema A X = B tem solução única, precisamos verificar se a matriz A é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A :
A = 1 & -1 & 1 0 & -2 & 2 0 & 0 & -2
Como A é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 1 times (-2) times (-2) = 4
Como o determinante é 4, que é diferente de zero, isso significa que a matriz A é inversível.

Passo 4

Como A é inversível, o sistema A X = B tem solução única. Isso responde à parte (a) do exercício.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) e encontrar a solução explícita do sistema. Para isso, podemos usar a matriz inversa de A , chamada A^-1 , e multiplicá-la pelo vetor B :
X = A^-1 B

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Como A é triangular, a inversa também será triangular. Podemos calcular A^-1 passo a passo:
A^-1 = 1 & 0.5 & 0 0 & -0.5 & -0.5 0 & 0 & -0.5
(Observação: O cálculo detalhado da inversa envolve técnicas de álgebra linear como a matriz adjunta ou métodos de eliminação, mas aqui simplificamos para facilitar o entendimento.)

Passo 7

Agora, multiplicamos A^-1 pelo vetor B :
B = 1 2 -1
X = A^-1 B = 1 & 0.5 & 0 0 & -0.5 & -0.5 0 & 0 & -0.5 1 2 -1

Passo 8

Vamos fazer a multiplicação:
X1 = 1 times 1 + 0.5 times 2 + 0 times (-1) = 1 + 1 + 0 = 2
X2 = 0 times 1 + (-0.5) times 2 + (-0.5) times (-1) = 0 -1 + 0.5 = -0.5
X3 = 0 times 1 + 0 times 2 + (-0.5) times (-1) = 0 + 0 + 0.5 = 0.5

Resposta

A solução única do sistema A X = B é:
X = 2 -0.5 0.5

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