Calcule.
lim x (pi / 2)^+ cos x1-sin x

Passo 1

O enunciado pede
limxto(pi/2)^+cos x1-sin x
Esse é um limite unilaterial onde tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, então vamos usar a regra de l’Hopital para indeterminações do tipo 0/0.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação:
cos(pi/2)=0 e sin(pi/2)=1, logo
1-sin(pi/2)=0,
ou seja, obtemos 0/0.

Passo 3

Pela regra de l’Hopital, diferenciamos numerador e denominador em relação a x:
ddx[cos x]=-sin x, ddx[,1-sin x,]=-cos x
Assim
limxto(pi/2)^+cos x1-sin x =limxto(pi/2)^+-sin x-cos x =limxto(pi/2)^+tan x

Passo 4

Para x vindo da direita de pi/2, temos x=pi/2+h com hto0^+. Então
tanl(pi/2+hr)=-cot hsim -1hto -infty

Resposta

-infty

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