Calcule.
lim x 1(1ln x-1x-1)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1l(1ln x-1x-1r)
O conteúdo é cálculo de limites com forma indeterminada, e vamos usar manipulação algébrica e a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Vamos escrever tudo em uma única fração:
1ln x-1x-1 =x-1-ln x(x-1),ln x

Passo 3

Ao substituir x=1 vemos que
x-1-ln xl|x=1=0-0=0 e (x-1)ln xl|x=1=0cdot0=0,
ou seja, temos 0/0, indeterminação que permite usar l’Hôpital.

Passo 4

Aplicando l’Hôpital na razão
limxto1x-1-ln x(x-1)ln x
derivamos numerador e denominador:
numerador’ = 1-tfrac1x,
denominador’ = ln x + x-1x.
O limite vira
limxto11-tfrac1xln x + x-1x
Substituindo x=1 ainda dá 0/0, então repetimos l’Hôpital.

Passo 5

Derivando de novo:
numerador’’ = ddx(1-tfrac1x)=1x^2,
denominador’’ = ddxl(ln x + tfracx-1xr) =1x + 1x^2
Agora o limite é
limxto1tfrac1x^2tfrac1x+tfrac1x^2

Passo 6

Avalia em x=1:
tfrac11^2tfrac11+tfrac11^2 =11+1 =12

Resposta

12

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