Calcule.
Passo 1
O enunciado pede o limite
O conteúdo é cálculo de limites com forma indeterminada, e vamos usar manipulação algébrica e a regra de l’Hôpital.
Passo 2
Vamos escrever tudo em uma única fração:
Passo 3
Ao substituir
vemos que
ou seja, temos
0/0 , indeterminação que permite usar l’Hôpital.
Passo 4
Aplicando l’Hôpital na razão
derivamos numerador e denominador:
numerador’= 1-tfrac1x ,
denominador’= ln x + x-1x .
O limite vira
numerador’
denominador’
O limite vira
Substituindo
x=1 ainda dá
0/0 , então repetimos l’Hôpital.
Passo 5
Derivando de novo:
numerador’’= ddx(1-tfrac1x)=1x^2 ,
denominador’’= ddxl(ln x + tfracx-1xr) =1x + 1x^2
Agora o limite é
numerador’’
denominador’’
Agora o limite é
Passo 6
Avalia em
x=1 :