Calcule.
lim x 0^-(1-cos (x))^1x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^-(1-cos(x))^1x
Esse tipo de limite é do tipo “base vai a zero” e “expoente vai a -infty”. Para lidar com isso, vamos usar a expansão em série de Taylor de cos(x) e uma transformação logarítmica, transformando a potência em produto, para depois voltar ao exponencial.

Passo 2

Primeiro, usamos a expansão de Taylor de ordem 2 para cos(x) em torno de x=0:
cos(x) = 1 - x^22 + o(x^2)
Logo
1 - cos(x) = x^22 + o(x^2)

Passo 3

Definimos
f(x) = (1-cos(x))^1x
e estudamos
ln f(x) = 1x,lnl(1-cos(x)r)

Passo 4

Substituindo o equivalente 1-cos(x)sim tfracx^22 no logaritmo, temos
lnl(1-cos(x)r) = ln!l(tfracx^22+o(x^2)r) = ln!l(tfracx^22r) + o(1) = 2ln|x| - ln2 + o(1)
Logo
ln f(x) = 2ln|x| - ln2 + o(1)x
Quando xto0^-, temos ln|x|to -infty e x<0, então ln|x|xto +infty (pois -infty dividido por um número negativo pequeno dá +infty). Assim
ln f(x);longrightarrow;+infty

Passo 5

Como ln f(x)to+infty, concluímos f(x)to+infty.

Resposta

+infty

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