Calcule.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftyln(x)e^3x
O conteúdo envolvido é comparação de crescimentos em xto+infty e uso da regra de L’Hôpital para indeterminações do tipo tfracinftyinfty.

Passo 2

Observamos que, ao fazermos xto+infty, temos ln(x)to+infty e e^3xto+infty. Ou seja, a forma é tfracinftyinfty e podemos aplicar a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x.

Passo 3

Derivando termo a termo:
  • Derivada de ln(x) é tfrac1x.
  • Derivada de e^3x é 3e^3x.
    Aplicando L’Hôpital, o limite passa a ser
limxto+inftytfrac1x3e^3x =limxto+infty13x,e^3x

Passo 4

No novo limite, o denominador 3x,e^3x cresce sem limite quando xto+infty, enquanto o numerador é constante 1. Logo o quociente tende a zero.

Resposta

0

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