Calcule.
(lim _{x \rightarrow 0^{-}}(1-\cos (x))^{\frac{1}{x}}\
(lim _{x \rightarrow 0^{-}}(1-\cos (x))^{\frac{1}{x}}\
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse problema envolve cálculo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno se comporta perto de zero e utilizar propriedades de logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de
, a função cosseno pode ser aproximada pela série de Taylor:
Então, temos:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados. Lembrando que
, temos:
Passo 4
Vamos simplificar o logaritmo:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Agora, analisamos o limite de cada termo separadamente conforme
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
-
: Quando , e tende a . Então, tende a porque temos um negativo dividido por um negativo que se aproxima de zero. -
: Como , tende a .
No entanto, o termo
cresce mais rapidamente do que
decresce, então o comportamento dominante é do primeiro termo, que tende a
.
Passo 6
Portanto, o logaritmo da nossa expressão original tende a
. Como estamos lidando com o logaritmo natural da expressão, para encontrar o limite original, aplicamos a função exponencial:
Resposta
O limite
é
.