Calcule.
(lim _{x \rightarrow 0^{-}}(1-\cos (x))^{\frac{1}{x}}\

Passo 1

Vamos calcular o limite limx 0^- (1 - cos(x))^1x. Esse problema envolve cálculo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno se comporta perto de zero e utilizar propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com 1 - cos(x) quando x se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de x, a função cosseno pode ser aproximada pela série de Taylor:
cos(x) approx 1 - x^22
Então, temos:
1 - cos(x) approx x^22

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
(1 - cos(x))^1x approx (x^22)^1x
Para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados. Lembrando que ln(a^b) = b cdot ln(a), temos:
ln((x^22)^1x) = 1x cdot ln(x^22)

Passo 4

Vamos simplificar o logaritmo:
ln(x^22) = ln(x^2) - ln(2) = 2ln|x| - ln(2)
Substituindo de volta na expressão:
1x cdot (2ln|x| - ln(2)) = 2ln|x|x - ln(2)x

Passo 5

Agora, analisamos o limite de cada termo separadamente conforme x se aproxima de 0 pela esquerda ( x 0^-):
  1. 2ln|x|x: Quando x 0^-, |x| = -x e ln|x| tende a -infty. Então, ln|x|x tende a +infty porque temos um negativo dividido por um negativo que se aproxima de zero.
  2. ln(2)x: Como x 0^-, ln(2)x tende a -infty.
No entanto, o termo 2ln|x|x cresce mais rapidamente do que ln(2)x decresce, então o comportamento dominante é do primeiro termo, que tende a +infty.

Passo 6

Portanto, o logaritmo da nossa expressão original tende a +infty. Como estamos lidando com o logaritmo natural da expressão, para encontrar o limite original, aplicamos a função exponencial:
limx 0^- (1 - cos(x))^1x = exp(limx 0^- (2ln|x|x - ln(2)x)) = exp(+infty) = +infty

Resposta

O limite limx 0^- (1 - cos(x))^1x é +infty.

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