Determine se a série é convergente ou divergente.
f) sumk=0^infty k sen^2 k1+k^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série sumk=0^infty k sen^2 k1+k^3 é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Comparação e o Teste da Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: sumk=0^infty k sen^2 k1+k^3. Aqui, o termo geral da série é k sen^2 k1+k^3. Precisamos analisar o comportamento desse termo quando k cresce, ou seja, quando k tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que o seno ao quadrado, sen^2 k, oscila entre 0 e 1 para todo valor de k. Portanto, podemos afirmar que:
0 <= sen^2 k <= 1
Isso nos ajuda a fazer uma comparação com outra série mais simples.

Passo 4

Vamos comparar nossa série com a série sumk=0^infty k1+k^3. Isso porque, como sen^2 k <= 1, temos:
k sen^2 k1+k^3 <= k1+k^3
Se conseguirmos determinar a convergência ou divergência dessa série comparativa, podemos concluir sobre a original.

Passo 5

Simplificando a fração da série comparativa:
Quando é muito grande, o termo se torna insignificante, então aproximadamente:

Passo 6

A série sumk=0^infty 1k^2 é uma série p com p=2. Sabemos que uma série p converge se p > 1. Então, sumk=0^infty 1k^2 converge.

Passo 7

Como k1+k^3 <= 1k^2 para k >= 1 e sumk=0^infty 1k^2 converge, pelo Teste da Comparação, nossa série original sumk=0^infty k sen^2 k1+k^3 também converge.

Resposta

A série sumk=0^infty k sen^2 k1+k^3 é convergente.

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