Determine se a série é convergente ou divergente.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Comparação e o Teste da Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos:
. Aqui, o termo geral da série é
. Precisamos analisar o comportamento desse termo quando
cresce, ou seja, quando
tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que o seno ao quadrado,
, oscila entre 0 e 1 para todo valor de
. Portanto, podemos afirmar que:
Isso nos ajuda a fazer uma comparação com outra série mais simples.
Passo 4
Vamos comparar nossa série com a série
. Isso porque, como
, temos:
Se conseguirmos determinar a convergência ou divergência dessa série comparativa, podemos concluir sobre a original.
Passo 5
Simplificando a fração da série comparativa:
Quando
é muito grande, o termo
se torna insignificante, então aproximadamente:
Passo 6
A série
é uma série p com
. Sabemos que uma série p converge se
. Então,
converge.
Passo 7
Como
para
e
converge, pelo Teste da Comparação, nossa série original
também converge.
Resposta
A série
é convergente.