Calcule.
(lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{2 x}}{x^{3}}\
(lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{2 x}}{x^{3}}\
Passo 1
Nesse exercício queremos calcular
lim_{x→+∞} e{2x}/x{3}. O conteúdo envolvido é limite de funções, em particular limites do tipo ∞/∞, e vamos usar a regra de L’Hôpital e também o fato de que exponencial cresce mais rápido que polinômio.
lim_{x→+∞} e{2x}/x{3}. O conteúdo envolvido é limite de funções, em particular limites do tipo ∞/∞, e vamos usar a regra de L’Hôpital e também o fato de que exponencial cresce mais rápido que polinômio.
Passo 2
Quando x→+∞, tanto o numerador e^{2x} quanto o denominador x^{3} tendem a +∞, ou seja temos uma forma indeterminada ∞/∞. A regra de L’Hôpital diz que, se lim f(x)/g(x) é ∞/∞ (ou 0/0), então é igual a lim f′(x)/g′(x) (se esse último existir).
Passo 3
Aplicamos L’Hôpital sucessivas vezes até eliminar o x no denominador:
Primeira aplicação:
Ainda é ∞/∞, então repetimos:
Segunda aplicação:
Ainda ∞/∞, aplicamos pela terceira vez:
Passo 4
A partir de agora o denominador é constante 3 e o numerador 4e^{2x}→+∞ quando x→+∞. Portanto o limite é +∞.
Resposta
+\infty