Calcule.
(lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{2 x}}{x^{3}}\

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular
lim_{x→+∞} e{2x}/x{3}. O conteúdo envolvido é limite de funções, em particular limites do tipo ∞/∞, e vamos usar a regra de L’Hôpital e também o fato de que exponencial cresce mais rápido que polinômio.

Passo 2

Quando x→+∞, tanto o numerador e^{2x} quanto o denominador x^{3} tendem a +∞, ou seja temos uma forma indeterminada ∞/∞. A regra de L’Hôpital diz que, se lim f(x)/g(x) é ∞/∞ (ou 0/0), então é igual a lim f′(x)/g′(x) (se esse último existir).

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital sucessivas vezes até eliminar o x no denominador:
Primeira aplicação:
limxto+inftye^2xx^3=limxto+infty2e^2x3x^2
Ainda é ∞/∞, então repetimos:
Segunda aplicação:
limxto+infty2e^2x3x^2=limxto+infty4e^2x6x=limxto+infty2e^2x3x
Ainda ∞/∞, aplicamos pela terceira vez:
limxto+infty2e^2x3x=limxto+infty4e^2x3

Passo 4

A partir de agora o denominador é constante 3 e o numerador 4e^{2x}→+∞ quando x→+∞. Portanto o limite é +∞.

Resposta

+\infty

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