Calcule.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
limxto(pi/2)^+cos x,1-sin x,
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de limite lateral e uso de identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de avaliar o comportamento quando x se aproxima de pi/2 pela direita.

Passo 2

Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por 1+sin x, explorando a identidade 1-sin^2 x=cos^2 x:
cos x1-sin x;times;1+sin x1+sin x =cos x,(1+sin x)1-sin^2 x =cos x,(1+sin x)cos^2 x =1+sin xcos x

Passo 3

Agora o limite vira
limxto(pi/2)^+1+sin xcos x
Quando xto(pi/2)^+:
  • sin xto1, então o numerador 1+sin xto2.
  • cos xto0 vindo de valores negativos (pois para x>pi/2 o cosseno é negativo).

Passo 4

Portanto, o numerador tende a 2>0 e o denominador tende a 0^-, o que faz a fração divergir para -infty.

Resposta

-infty

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