Dado o PVI:
Encontre uma aproximação para
usando o Método de Taylor de
Ordem, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) onde queremos encontrar uma aproximação para
usando o Método de Taylor de segunda ordem com um passo
. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre métodos numéricos para resolver equações diferenciais, especificamente o Método de Taylor. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos e o que precisamos calcular. O PVI dado é:
Queremos encontrar
usando o Método de Taylor de segunda ordem com
. Isso significa que vamos calcular
em
,
e finalmente
.
Passo 3
No Método de Taylor de segunda ordem, a fórmula para avançar é:
Onde
já está dado pela equação diferencial. Precisamos também calcular
, que é a segunda derivada de
.
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que:
Para encontrar
, derivamos
em relação a
:
Isso vem da regra da cadeia: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, vamos começar a calcular os valores passo a passo.
Primeiro Passo (
para
)
Aplicando a fórmula de Taylor:
Passo 6
Segundo Passo (
para
)
Aplicando a fórmula de Taylor:
Arredondando,
.
Passo 7
Terceiro Passo (
para
)
Aplicando a fórmula de Taylor:
Resposta
A aproximação para
usando o Método de Taylor de segunda ordem com
é aproximadamente 1,9995.