Dado o PVI:
c y^prime=y^2-x y(0)=1
Encontre uma aproximação para y(0,6) usando o Método de Taylor de 2^ a Ordem, com h=0,2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) onde queremos encontrar uma aproximação para y(0,6) usando o Método de Taylor de segunda ordem com um passo h = 0,2 . Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre métodos numéricos para resolver equações diferenciais, especificamente o Método de Taylor. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos e o que precisamos calcular. O PVI dado é:
c y^prime = y^2 - x y(0) = 1
Queremos encontrar y(0,6) usando o Método de Taylor de segunda ordem com h = 0,2 . Isso significa que vamos calcular y em x = 0,2 , x = 0,4 e finalmente x = 0,6 .

Passo 3

No Método de Taylor de segunda ordem, a fórmula para avançar é:
yn+1 = yn + h yn' + h^22 yn''
Onde yn' já está dado pela equação diferencial. Precisamos também calcular yn'' , que é a segunda derivada de y .

Passo 4

Vamos calcular yn'' . Sabemos que:
y' = y^2 - x
Para encontrar y'' , derivamos y' em relação a x :
y'' = 2y y' - 1
Isso vem da regra da cadeia: a derivada de y^2 é 2y y' e a derivada de -x é -1 .

Passo 5

Agora, vamos começar a calcular os valores passo a passo.
Primeiro Passo ( x = 0 para x = 0,2 )
  • y0 = 1
  • y0' = y0^2 - x0 = 1^2 - 0 = 1
  • y0'' = 2y0 y0' - 1 = 2 times 1 times 1 - 1 = 1
Aplicando a fórmula de Taylor:
y1 = y0 + h y0' + h^22 y0'' = 1 + 0,2 times 1 + 0,2^22 times 1 = 1 + 0,2 + 0,02 = 1,22

Passo 6

Segundo Passo ( x = 0,2 para x = 0,4 )
  • y1 = 1,22
  • y1' = y1^2 - x1 = (1,22)^2 - 0,2 = 1,4884 - 0,2 = 1,2884
  • y1'' = 2y1 y1' - 1 = 2 times 1,22 times 1,2884 - 1 approx 3,1413 - 1 = 2,1413
Aplicando a fórmula de Taylor:
y2 = y1 + h y1' + h^22 y1'' = 1,22 + 0,2 times 1,2884 + 0,2^22 times 2,1413 approx 1,22 + 0,2577 + 0,04285 approx 1,52055
Arredondando, y2 approx 1,5206 .

Passo 7

Terceiro Passo ( x = 0,4 para x = 0,6 )
  • y2 approx 1,5206
  • y2' = y2^2 - x2 = (1,5206)^2 - 0,4 approx 2,3123 - 0,4 = 1,9123
  • y2'' = 2y2 y2' - 1 = 2 times 1,5206 times 1,9123 - 1 approx 5,8104 - 1 = 4,8104
Aplicando a fórmula de Taylor:
y3 = y2 + h y2' + h^22 y2'' approx 1,5206 + 0,2 times 1,9123 + 0,2^22 times 4,8104 approx 1,5206 + 0,3825 + 0,0964 approx 1,9995

Resposta

A aproximação para y(0,6) usando o Método de Taylor de segunda ordem com h = 0,2 é aproximadamente 1,9995.

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