Considere o Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
c x d yd x-x^2 y-2=0 y(1)=3
Fazendo h=0,2, estime o valor de f(95) utilizando o Método de Euler (ou de Taylor de 1^ a Ordem).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que é dado pela equação diferencial:
x dydx - x^2 y - 2 = 0
E a condição inicial é y(1) = 3 . Nosso objetivo é estimar o valor de f(95) usando o Método de Euler com um passo h = 0,2 .
Para isso, vamos precisar entender como o Método de Euler funciona, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Basicamente, a gente vai partir do ponto inicial e, usando a inclinação (derivada), vai avançando passo a passo até chegar no ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para isolar dydx . A equação dada é:
x dydx - x^2 y - 2 = 0
Vamos somar x^2 y + 2 em ambos os lados para ficar:
x dydx = x^2 y + 2
Agora, dividimos ambos os lados por x (supondo que x neq 0 ):
dydx = x y + 2x
Agora temos a expressão para dydx em termos de x e y , que é o que precisamos para aplicar o Método de Euler.

Passo 3

Vamos relembrar rapidamente como funciona o Método de Euler. A ideia é usar a inclinação atual para estimar o próximo valor de y . A fórmula básica é:
yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn)
Onde:
  • yn é o valor atual de y
  • f(xn, yn) é a derivada dydx avaliada em xn e yn
  • h é o tamanho do passo
No nosso caso, f(x, y) = x y + 2x e h = 0,2 .

Passo 4

Vamos começar do ponto inicial, que é x0 = 1 e y0 = 3 .
Primeiro, calculamos f(x0, y0) :
f(1, 3) = 1 cdot 3 + 21 = 3 + 2 = 5
Agora, aplicamos a fórmula de Euler para encontrar y1 :
y1 = y0 + h cdot f(x0, y0) = 3 + 0,2 cdot 5 = 3 + 1 = 4
Então, temos y1 = 4 quando x1 = x0 + h = 1 + 0,2 = 1,2 .

Passo 5

Agora, vamos para o próximo passo. Nosso novo ponto é x1 = 1,2 e y1 = 4 .
Calculamos f(x1, y1) :
f(1,2, 4) = 1,2 cdot 4 + 21,2 = 4,8 + 21,2 approx 4,8 + 1,6667 approx 6,4667
Aplicamos a fórmula de Euler para encontrar y2 :
y2 = y1 + h cdot f(x1, y1) = 4 + 0,2 cdot 6,4667 approx 4 + 1,2933 approx 5,2933
Então, y2 approx 5,2933 em x2 = 1,2 + 0,2 = 1,4 .

Passo 6

Continuando, com x2 = 1,4 e y2 approx 5,2933 :
Calculamos f(x2, y2) :
f(1,4, 5,2933) = 1,4 cdot 5,2933 + 21,4 approx 7,4106 + 1,4286 approx 8,8392
Aplicamos Euler para y3 :
y3 = y2 + h cdot f(x2, y2) approx 5,2933 + 0,2 cdot 8,8392 approx 5,2933 + 1,7678 approx 7,0611
Assim, y3 approx 7,0611 em x3 = 1,4 + 0,2 = 1,6 .

Passo 7

Agora, com x3 = 1,6 e y3 approx 7,0611 :
Calculamos f(x3, y3) :
f(1,6, 7,0611) = 1,6 cdot 7,0611 + 21,6 approx 11,2978 + 1,25 approx 12,5478
Aplicamos Euler para y4 :
y4 = y3 + h cdot f(x3, y3) approx 7,0611 + 0,2 cdot 12,5478 approx 7,0611 + 2,5096 approx 9,5707
Portanto, y4 approx 9,5707 em x4 = 1,6 + 0,2 = 1,8 .

Passo 8

Finalmente, chegamos a x4 = 1,8 e y4 approx 9,5707 :
Calculamos f(x4, y4) :
f(1,8, 9,5707) = 1,8 cdot 9,5707 + 21,8 approx 17,2273 + 1,1111 approx 18,3384
Aplicamos Euler para encontrar y5 :
y5 = y4 + h cdot f(x4, y4) approx 9,5707 + 0,2 cdot 18,3384 approx 9,5707 + 3,6677 approx 13,2384
Então, y5 approx 13,2384 em x5 = 1,8 + 0,2 = 2,0 .

Resposta

Usando o Método de Euler com passo h = 0,2 , estimamos que f(95) é aproximadamente 13,24 .

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