Considere o Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
Fazendo
, estime o valor de
utilizando o Método de Euler (ou de Taylor de
Ordem).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que é dado pela equação diferencial:
E a condição inicial é
. Nosso objetivo é estimar o valor de
usando o Método de Euler com um passo
.
Para isso, vamos precisar entender como o Método de Euler funciona, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Basicamente, a gente vai partir do ponto inicial e, usando a inclinação (derivada), vai avançando passo a passo até chegar no ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para isolar
. A equação dada é:
Vamos somar
em ambos os lados para ficar:
Agora, dividimos ambos os lados por
(supondo que
):
Agora temos a expressão para
em termos de
e
, que é o que precisamos para aplicar o Método de Euler.
Passo 3
Vamos relembrar rapidamente como funciona o Método de Euler. A ideia é usar a inclinação atual para estimar o próximo valor de
. A fórmula básica é:
Onde:
-
é o valor atual de -
é a derivada avaliada em e -
é o tamanho do passo
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos começar do ponto inicial, que é
e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicamos a fórmula de Euler para encontrar
:
Então, temos
quando
.
Passo 5
Agora, vamos para o próximo passo. Nosso novo ponto é
e
.
Calculamos
:
Aplicamos a fórmula de Euler para encontrar
:
Então,
em
.
Passo 6
Continuando, com
e
:
Calculamos
:
Aplicamos Euler para
:
Assim,
em
.
Passo 7
Agora, com
e
:
Calculamos
:
Aplicamos Euler para
:
Portanto,
em
.
Passo 8
Finalmente, chegamos a
e
:
Calculamos
:
Aplicamos Euler para encontrar
:
Então,
em
.
Resposta
Usando o Método de Euler com passo
, estimamos que
é aproximadamente
.