Calcule integral 8 x^2+x+1x^3-8 d x.

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral de 8x^2 + x + 1x^3 - 8 em relação a x. Vamos trabalhar com cálculo integral, mais especificamente com frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 8. Sabemos que isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração original usando essa fatoração:
8x^2 + x + 1(x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
8x^2 + x + 1(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = Ax - 2 + Bx + Cx^2 + 2x + 4

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora (x - 2)(x^2 + 2x + 4) para eliminar os denominadores:
8x^2 + x + 1 = A(x^2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2)

Passo 5

Agora, expandimos os termos do lado direito:
8x^2 + x + 1 = A x^2 + 2A x + 4A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C
Agrupando os termos semelhantes:
8x^2 + x + 1 = (A + B)x^2 + (2A - 2B + C)x + (4A - 2C)

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
A + B = 8 2A - 2B + C = 1 4A - 2C = 1

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação: [A = 8 - B)
Substituímos na terceira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Temos agora:
Subtraindo as duas equações:
Agora, encontramos (C]:
E :

Passo 8

Agora que temos A = 3512, B = 6112 e C = 163, podemos reescrever a fração original:
8x^2 + x + 1(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 3512x - 2 + 6112x + 163x^2 + 2x + 4

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 3512x - 2 dx + integral 6112x + 163x^2 + 2x + 4 dx
Primeiro, a primeira integral:
3512 integral 1x - 2 dx = 3512 ln|x - 2|
Para a segunda integral, completamos o quadrado no denominador:
x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3
Então, reescrevemos a integral:
integral 6112x + 163(x + 1)^2 + 3 dx
Vamos ajustar o numerador para facilitar a integração:
6112x + 163 = 6112(x + 1) - 6112 + 163 = 6112(x + 1) + -61 + 6412 = 6112(x + 1) + 312 = 6112(x + 1) + 14
Então, a integral fica:
6112 integral x + 1(x + 1)^2 + 3 dx + 14 integral 1(x + 1)^2 + 3 dx
A primeira parte é uma integral padrão:
6112 cdot 12 ln((x + 1)^2 + 3) = 6124 ln((x + 1)^2 + 3)
A segunda parte é uma integral que resulta em uma função arco-tangente:
14 cdot 1raiz3 tan^-1(x + 1raiz3) = 14raiz3 tan^-1(x + 1raiz3)

Resposta

A integral integral 8x^2 + x + 1x^3 - 8 dx é igual a:
3512 ln|x - 2| + 6124 ln((x + 1)^2 + 3) + 14raiz3 tan^-1(x + 1raiz3) + C
onde C é a constante de integração.

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