Seja
uma função definida para
. Então, a Transformada de Laplace de
, denotada por
, é dada pela seguinte expressão:
desde que esta integral convirja. Calcule
, em que
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de
para
. Vamos usar a definição
e resolver a integral por partes, já que aparece produto de funções exponencial e trigonométrica. A condição de convergência será
.
Passo 2
Definimos
Aplicamos integração por partes em
escolhendo
logo
Pelo fórmula
, obtemos
Como
em
e vale zero em
, o termo de contorno some, restando
onde definimos
Passo 3
Agora calculamos
por partes, escolhendo
então
Aplicando
vem
O termo de contorno é
e o integrando dá
vezes
. Logo
Passo 4
Temos o sistema em
e
:
Substituindo
em
,
Passando o termo com
para o lado esquerdo,
ou seja