Seja f uma função definida para t >= 0. Então, a Transformada de Laplace de f, denotada por mathscrLf(t), é dada pela seguinte expressão:
mathscrLf(t)=integralt=0^infty f(t) e^-s t d t,
desde que esta integral convirja. Calcule mathscrLsen(m t), em que m>0.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=sen(m t) para t>=0. Vamos usar a definição
mathscrLf(t) =integral0^inftyf(t)e^-s t,dt
e resolver a integral por partes, já que aparece produto de funções exponencial e trigonométrica. A condição de convergência será s>0.

Passo 2

Definimos
I=mathscrLsen(m t) =integral0^inftye^-s tsin(m t),dt
Aplicamos integração por partes em I escolhendo
u=sin(m t), dv=e^-s t,dt,
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du=mcos(m t),dt, v=-1se^-s t
Pelo fórmula integral u,dv=uv-integral v,du, obtemos
I =l[-1se^-s tsin(m t)r]0^infty -integral0^inftyl(-1se^-s tr),mcos(m t),dt
Como e^-s tsin(m t)to0 em ttoinfty e vale zero em t=0, o termo de contorno some, restando
I=msintegral0^inftye^-s tcos(m t),dt =ms,J,
onde definimos
J=integral0^inftye^-s tcos(m t),dt

Passo 3

Agora calculamos
J=integral0^inftye^-s tcos(m t),dt
por partes, escolhendo
u=cos(m t), dv=e^-s t,dt,
então
du=-msin(m t),dt, v=-1se^-s t
Aplicando integral u,dv=uv-integral v,du vem
J =l[-1se^-s tcos(m t)r]0^infty -integral0^inftyl(-1se^-s tr),(-msin(m t)),dt
O termo de contorno é
0-l(-1scdot1r)=1s,
e o integrando dá -m/s vezes integral0^infty e^-stsin(mt),dt=-tfracmsI. Logo
J=1s-msI

Passo 4

Temos o sistema em I e J:
I=msJ, J=1s-msI
Substituindo J em I,
I=msl(1s-msIr) =ms^2-m^2s^2I
Passando o termo com I para o lado esquerdo,
Il(1+m^2s^2r)=ms^2,
ou seja
I;s^2+m^2s^2=ms^2 Longrightarrow I=ms^2+m^2

Resposta

mathscrLsen(m t)(s) =ms^2+m^2, s>0

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