Seja g(t)=2t^2-1, com |t| neq 0. Mostre que toda solução x^prime(t)=g(t) é da forma
varphi(t)=c+ln |t-1t+1|

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função g(t) = 2t^2 - 1 e sabe que |t| neq 0 . Queremos encontrar todas as soluções da equação diferencial x'(t) = g(t) . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é uma ferramenta fundamental em cálculo para encontrar funções a partir de suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
x'(t) = 2t^2 - 1
O que isso significa é que a derivada de x(t) em relação a t é igual a 2t^2 - 1 . Para encontrar x(t) , precisamos integrar essa função em relação a t .

Passo 3

Agora, vamos focar na integral:
integral 2t^2 - 1 , dt
Para facilitar a integração, podemos fatorar o denominador t^2 - 1 como (t - 1)(t + 1) . Então, a fração fica:
2(t - 1)(t + 1)
Vamos usar a técnica de frações parciais para separar essa fração em duas partes mais simples.

Passo 4

Assumimos que:
2(t - 1)(t + 1) = At - 1 + Bt + 1
Multiplicando ambos os lados por (t - 1)(t + 1) para eliminar os denominadores, temos:
2 = A(t + 1) + B(t - 1)
Agora, precisamos encontrar os valores de A e B .

Passo 5

Para encontrar A e B , escolhemos valores de t que simplificam a equação:
  • Se t = 1 :
2 = A(1 + 1) + B(1 - 1) Rightarrow 2 = 2A Rightarrow A = 1
  • Se t = -1 :
2 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) Rightarrow 2 = -2B Rightarrow B = -1
Então, temos:
2(t - 1)(t + 1) = 1t - 1 - 1t + 1

Passo 6

Agora, voltamos à integral:
integral 2t^2 - 1 , dt = integral ( 1t - 1 - 1t + 1 ) , dt
Essa integral é mais fácil de resolver, já que sabemos integrar funções da forma 1t - a .

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral 1t - 1 , dt - integral 1t + 1 , dt = ln|t - 1| - ln|t + 1| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
ln|t - 1| - ln|t + 1| = ln|t - 1t + 1|
Então, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = ln|t - 1t + 1| + C

Resposta

Toda solução da equação x'(t) = 2t^2 - 1 é da forma
varphi(t) = c + ln |t - 1t + 1|
onde c é uma constante.

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