Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função g(t) = 2t^2 - 1 e sabe que |t| neq 0 . Queremos encontrar todas as soluções da equação diferencial x'(t) = g(t) . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é uma ferramenta fundamental em cálculo para encontrar funções a partir de suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
x'(t) = 2t^2 - 1
O que isso significa é que a derivada de x(t) em relação a t é igual a 2t^2 - 1 . Para encontrar x(t) , precisamos integrar essa função em relação a t .
Passo 3
Agora, vamos focar na integral:
integral 2t^2 - 1 , dt
Para facilitar a integração, podemos fatorar o denominador t^2 - 1 como (t - 1)(t + 1) . Então, a fração fica:
2(t - 1)(t + 1)
Vamos usar a técnica de frações parciais para separar essa fração em duas partes mais simples.
Passo 4
Assumimos que:
2(t - 1)(t + 1) = At - 1 + Bt + 1
Multiplicando ambos os lados por (t - 1)(t + 1) para eliminar os denominadores, temos:
2 = A(t + 1) + B(t - 1)
Agora, precisamos encontrar os valores de A e B .
Passo 5
Para encontrar A e B , escolhemos valores de t que simplificam a equação: