Calcule:
mathscrLcos (alpha t), em que alpha>0;

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função cos(alpha t), com alpha>0. Vamos usar a definição da transformada de Laplace e uma técnica de exponenciais complexas para calcular o integral.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função f(t) é
mathscrLf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt,
que converge quando Re(s)>0.

Passo 3

Aplicando essa definição a f(t)=cos(alpha t), temos
mathscrLcos(alpha t)(s) =integral0^inftye^-stcos(alpha t),dt

Passo 4

Para resolver esse integral, usamos a identidade
cos(alpha t)=Rel(e^ialpha tr),
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integral0^inftye^-stcos(alpha t),dt =Reintegral0^inftye^-ste^ialpha t,dt =Reintegral0^inftye^-(s - ialpha)t,dt

Passo 5

O integral da exponencial é elementar, pois para Re(s)>0:
integral0^inftye^-(s - ialpha)t,dt =[e^-(s - ialpha)t-(s - ialpha)]0^infty =1s - ialpha

Passo 6

Finalmente, tomamos a parte real de tfrac1s - ialpha:
Rel(tfrac1s - ialphar) =Rel(tfracs + ialpha(s - ialpha)(s + ialpha)r) =Rel(tfracs + ialphas^2+alpha^2r) =ss^2+alpha^2

Resposta

mathscrLcos(alpha t)(s) =ss^2+alpha^2, Re(s)>0

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