Calcule:
, em que
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função seno, ou seja
O conteúdo principal é a definição de transformada de Laplace e o cálculo de uma integral imprópria, que faremos por partes.
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Laplace, para
temos
válida para
. Denotemos essa integral por
Passo 3
Vamos aplicar integração por partes em
. Escolha
então
Logo
O termo de fronteira vale zero em
(pois
) e também em
, então
Denotando
fazemos outra integração por partes em
com
resultando em
Substituindo de volta em
, obtemos
Passo 4
Concluímos que, para
e
,