Calcule:
mathscrLsen(alpha t), em que alpha>0;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função seno, ou seja
mathscrLsen(alpha t)=integral0^inftye^-stsen(alpha t),dt
O conteúdo principal é a definição de transformada de Laplace e o cálculo de uma integral imprópria, que faremos por partes.

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Laplace, para f(t)=sen(alpha t) temos
mathscrLsen(alpha t) =integral0^inftye^-stsen(alpha t),dt,
válida para Re(s)>0. Denotemos essa integral por
I=integral0^inftye^-stsen(alpha t),dt

Passo 3

Vamos aplicar integração por partes em I. Escolha
u=sen(alpha t), dv=e^-st,dt
então
du=alphacos(alpha t),dt, v=-1se^-st
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I =l[-1se^-stsen(alpha t)r]0^infty +alphasintegral0^inftye^-stcos(alpha t),dt
O termo de fronteira vale zero em ttoinfty (pois e^-stto0) e também em t=0, então
I=alphasintegral0^inftye^-stcos(alpha t),dt
Denotando
J=integral0^inftye^-stcos(alpha t),dt,
fazemos outra integração por partes em J com
u=cos(alpha t), dv=e^-st,dt
resultando em
J=1s-alphasI
Substituindo de volta em I=alphasJ, obtemos
I=alphasl(1s-alphasIr) =alphas^2-alpha^2s^2I ;Longrightarrow; Il(1+alpha^2s^2r)=alphas^2 ;Longrightarrow; I=alphas^2+alpha^2

Passo 4

Concluímos que, para Re(s)>0 e alpha>0,
mathscrLsen(alpha t)(s) =integral0^inftye^-stsen(alpha t),dt =alphas^2+alpha^2

Resposta

boxedmathscrLsen(alpha t)(s)=alphas^2+alpha^2, Re(s)>0

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