Calcule:
mathscrLt;

Passo 1

O enunciado pede para calcular mathscrLt. O conteúdo é a definição da transformada de Laplace e a técnica de integração por partes.

Passo 2

Pela definição,
mathscrLt ;=;integral0^infty t,e^-s t,dt,
válida para Re(s)>0.

Passo 3

Para avaliar integral0^infty t,e^-s t,dt, aplicamos integração por partes escolhendo
u = t, dv = e^-s t,dt
o que dá
du = dt, v = -1se^-s t
Pela fórmula de partes,
integral0^infty t,e^-s t,dt = lu,vr|0^infty ;-;integral0^infty v,du

Passo 4

Calculamos cada termo:
lu,vr|0^infty = limttoinftyl(-tse^-s tr);-;0 = 0
pois e^-s t decai mais rápido que t cresce.
E
-integral0^infty v,du =-integral0^inftyl(-1se^-s tr)dt =1sintegral0^infty e^-s t,dt =1scdot1s =1s^2

Passo 5

Somando os resultados, obtemos
mathscrLt=1s^2,
com região de convergência Re(s)>0.

Resposta

mathscrLt=1s^2, Re(s)>0

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