Calcule d yd x se
3 x^2+raiz[3]x y=2 y^2+20

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
3x^2 + raiz[3]xy = 2y^2 + 20
e pede dfracdydx. O conteúdo é diferenciação implícita, usando a regra da cadeia e a regra do produto para o termo raiz[3]xy=(xy)^1/3.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
ddxl(3x^2r) + ddxl((xy)^1/3r) = ddxl(2y^2r) + ddx(20)
Como dfracddx(3x^2)=6x e dfracddx(20)=0, fica
6x + ddxl((xy)^1/3r) = 4y,dydx

Passo 3

Para dfracddxl((xy)^1/3r) aplicamos a regra da cadeia e a do produto em xy:
ddxl((xy)^1/3r) = 13(xy)^-2/3,ddx(xy) = 13(xy)^-2/3l(y + x,dydxr)
Substituindo na equação de Passo 2:
6x + 13(xy)^-2/3l(y + x,y'r) = 4y,y',
onde escrevemos y'=dfracdydx.

Passo 4

Multiplicamos tudo por 3(xy)^2/3 para eliminar o fator fracionário:
18x,(xy)^2/3 + l(y + x,y'r) = 12y,(xy)^2/3,y'
Reagrupando termos com y' num lado:
y + 18x,(xy)^2/3 + x,y' - 12y,(xy)^2/3,y' = 0 Longrightarrow x,y' - 12y,(xy)^2/3,y' = -l(y + 18x,(xy)^2/3r)

Passo 5

Fatorando y' no lado esquerdo:
y'l(x - 12y,(xy)^2/3r) = -l(y + 18x,(xy)^2/3r)
Logo, isolando y':
y' = -y + 18x,(xy)^2/3x - 12y,(xy)^2/3 = 18x,(xy)^2/3 + y12y,(xy)^2/3 - x

Resposta

dydx = 18x,(xy)^2/3 + y12y,(xy)^2/3 - x

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