Diferenciando implicitamente, determine a inclinação do hiperbolóide
na direção de x nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a inclinação do hiperbolóide
na direção de
nos pontos
e
. Isso envolve usar diferenciação implícita, que é quando a gente tem uma equação envolvendo várias variáveis e precisa derivar uma em relação a outra sem isolar uma delas primeiro. Vamos precisar entender como derivar essa equação para encontrar a inclinação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do hiperbolóide:
Queremos encontrar a inclinação na direção de
, ou seja, a taxa de variação de
em relação a
mantendo
constante. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos diferenciar termo a termo:
Lembrando que
é constante em relação a
(já que estamos variando
mantendo
fixo), então a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Aqui,
representa exatamente a inclinação que queremos encontrar.
Passo 5
Agora, isolamos
:
Então, a inclinação na direção de
é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular essa inclinação nos dois pontos dados:
- No ponto
:
Podemos simplificar esta fração:
- No ponto
:
Simplificando:
Resposta
A inclinação do hiperbolóide na direção de
é
no ponto
e
no ponto
.