Diferenciando implicitamente, determine a inclinação do hiperbolóide x^2+y^2-z^2=1 na direção de x nos pontos (3,4,2 raiz6) e (3,4,-2 raiz6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a inclinação do hiperbolóide x^2 + y^2 - z^2 = 1 na direção de x nos pontos (3, 4, 2raiz6) e (3, 4, -2raiz6). Isso envolve usar diferenciação implícita, que é quando a gente tem uma equação envolvendo várias variáveis e precisa derivar uma em relação a outra sem isolar uma delas primeiro. Vamos precisar entender como derivar essa equação para encontrar a inclinação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do hiperbolóide:
x^2 + y^2 - z^2 = 1
Queremos encontrar a inclinação na direção de x, ou seja, a taxa de variação de z em relação a x mantendo y constante. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x.

Passo 3

Vamos diferenciar termo a termo:
ddx(x^2) + ddx(y^2) - ddx(z^2) = ddx(1)
Lembrando que y é constante em relação a x (já que estamos variando x mantendo y fixo), então a derivada de y^2 em relação a x é zero.

Passo 4

Calculando as derivadas:
2x + 0 - 2z dzdx = 0
Aqui, dzdx representa exatamente a inclinação que queremos encontrar.

Passo 5

Agora, isolamos dzdx:
2x - 2z dzdx = 0
2x = 2z dzdx
dzdx = xz
Então, a inclinação na direção de x é xz.

Passo 6

Agora, vamos calcular essa inclinação nos dois pontos dados:
  1. No ponto (3, 4, 2raiz6):
dzdx = 32raiz6
Podemos simplificar esta fração:
32raiz6 = 3raiz62 cdot 6 = raiz64
  1. No ponto (3, 4, -2raiz6):
dzdx = 3-2raiz6
Simplificando:
3-2raiz6 = -3raiz62 cdot 6 = -raiz64

Resposta

A inclinação do hiperbolóide na direção de x é raiz64 no ponto (3, 4, 2raiz6) e -raiz64 no ponto (3, 4, -2raiz6).

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