Determine os coeficientes ck da série de Fourier do sinal x(t) dado por
x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k T), p(t)=de<a(t+1)-u(t)+u(t-1), para T=4

Passo 1

O enunciado define o sinal periódico de período T=4
x(t)=sumn=-infty^inftyp(t-nT),
onde
p(t)=de<a(t+1)-u(t)+u(t-1)
Queremos os coeficientes complexos ck da série de Fourier, sabendo que
omega0=2piT=pi2,
e que
ck=1Tintegralum períodox(t),e^-jkomega0t,dt í

Passo 2

Como x(t) é a repetição de p(t) a cada T, basta integrar sobre um único período (por exemplo de -2 a 2) e notar que ali x(t)=p(t). Assim
ck=14integral-2^2p(t),e^-jkomega0t,dt

Passo 3

Dentro de [-2,2] temos
  • Um impulso de<a(t+1) em t=-1.
  • Para tin[0,1): u(t)=1, u(t-1)=0, logo p(t)=-1.
  • Para tin[1,2]: u(t)=1, u(t-1)=1, logo p(t)=0.
    Fora dessas regiões p(t)=0.

Passo 4

Separe a integral em contribuição do impulso e do bloco em [0,1]:
integral-2^2p(t)e^-jkomega0t,dt =integral-2^2de<a(t+1)e^-jkomega0t,dt +integral0^1(-1),e^-jkomega0t,dt
A primeira integral vale e^-jkomega0(-1)=e^jkomega0.
A segunda é
-,integral0^1e^-jkomega0t,dt =-e^-jkomega0t-jkomega0|0^1 =1jkomega0l(e^-jkomega0-1r)

Passo 5

Reunindo e lembrando omega0=pi/2:
ck =14l[e^jkpi2 +1jkpi2l(e^-jkpi2-1r)r] =14l[e^jkpi2 +2jkpil(e^-jkpi2-1r)r]
Para k=0 obtém-se c0=0 por continuidade da expressão.

Resposta

boxed ck =14l[e^jkpi2 +2jkpil(e^-jkpi2-1r)r], kneq0, c0=0

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