Calcule.
integral (1+cos ^2 z) cot zcsc z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral l(1+cos^2 zr),cot zcsc z,dz
Aqui o conteúdo é simplificação de funções trigonométricas e integração direta, usando identidades como cot z=cos zsin z e csc z=1sin z, e depois técnicas básicas de integração (separar em partes e substituição).

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando:
l(1+cos^2 zr),cot zcsc z =l(1+cos^2 zr),cot zcdotsin z
Como cot z=cos zsin z, temos
cot zcdotsin z =cos zsin z,sin z =cos z
Logo o integrando vira
(1+cos^2 z),cos z

Passo 3

Escrevemos a integral como soma de duas:
integral(1+cos^2 z),cos z,dz =integralcos z,dz+integralcos^3 z,dz
A primeira é imediata:
integralcos z,dz=sin z

Passo 4

Para a segunda, usemos a identidade cos^2 z=1-sin^2 z e a substituição u=sin z, du=cos z,dz:
integralcos^3 z,dz =integrall(1-sin^2 zr)cos z,dz =integral(1-u^2),du =u-u^33+C =sin z-sin^3 z3+C

Passo 5

Somando as duas partes, a primária sin z e a da potência três, obtemos
integral(1+cos^2 z)cot zcsc z,dz =sin z+l(sin z-sin^3 z3r)+C =2sin z-sin^3 z3+C

Resposta

2sin z-sin^3 z3+C

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