Calcule y^prime.
y=e^cos (x)+cos (e^x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = e^cos(x) + cosl(e^xr)
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia para funções compostas: uma exponencial composta com cosseno e um cosseno composto com exponencial.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo e^cos(x). Se u(x)=cos(x), então
ddxe^u(x) = e^u(x)cdot u'(x)
Como u'(x) = -sin(x), temos
ddxe^cos(x) = e^cos(x) cdot l(-sin(x)r) = -sin(x),e^cos(x)

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo cosl(e^xr). Se v(x)=e^x, então
ddxcosl(v(x)r) = -sinl(v(x)r)cdot v'(x)
Como v'(x)=e^x, segue
ddxcosl(e^xr) = -sinl(e^xr) cdot e^x = -e^xsinl(e^xr)

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
y' = -sin(x),e^cos(x) ;-; e^xsinl(e^xr)

Resposta

y' = -sin(x),e^cos(x) ;-; e^xsinl(e^xr)

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