Calcule y^prime.
y=ln (sen(x))-12 sen^2(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = lnl(sin(x)r);-;tfrac12,sin^2(x)
O conteúdo que vamos usar inclui a regra da cadeia, a derivada de ln(u), a derivada de sin(x) e a derivada de uma potência.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo, lnl(sin(x)r). Pela regra da cadeia,
ddxlnl(sin(x)r) =1sin(x);cdot;ddxsin(x) =1sin(x);cdot;cos(x) =cos(x)sin(x) =cot(x)

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo, -tfrac12,sin^2(x). De novo, regra da cadeia e potência:
ddxl(sin^2(x)r) =2,sin(x),cos(x),
então
ddxl(-tfrac12,sin^2(x)r) =-tfrac12;cdot;2,sin(x),cos(x) =-sin(x),cos(x)

Passo 4

Somando os resultados dos dois termos, obtemos
y'=cot(x);-;sin(x),cos(x)
Opcionalmente, podemos escrever
y' =cos(x)sin(x)-sin(x)cos(x) =cos(x)-sin^2(x)cos(x)sin(x) =cos(x)l(1-sin^2(x)r)sin(x) =cos^3(x)sin(x)

Resposta

y'=cot(x);-;sin(x),cos(x) l(ou;;y'=tfraccos^3(x)sin(x)r)

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