Calcule y^prime.
x e^y=y-1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita x e^y = y - 1 e pede y' = dydx. Para isso vamos usar derivação implícita, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
No lado esquerdo, com x e^y, aplicamos produto e cadeia:
ddx(x e^y) = 1cdot e^y + xcdot ddx(e^y) = e^y + x e^y,y'
No lado direito,
ddx(y - 1) = y'
Portanto obtemos a equação
e^y + x e^y,y' = y'

Passo 3

Isolamos y' juntando termos semelhantes:
x e^y,y' - y' = -e^y
Fatorando y':
y',(x e^y - 1) = -e^y Longrightarrow y' = -e^yx e^y - 1

Resposta

y' = -e^yx e^y - 1

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