Calcule y^prime.
y=cos ^2(tan (x))

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = cos^2l(tan(x)r)
e pede y'. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma composição de três funções: xmapsto tan(x), depois umapsto cos(u) e por fim vmapsto v^2.

Passo 2

Vamos introduzir funções auxiliares para aplicar a cadeia de forma organizada:
u = tan(x), v = cos(u), y = v^2

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada etapa:
dudx = sec^2(x), dvdu = -sin(u), dydv = 2,v

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em y = v^2, obtemos
dydx = dydv,dvdu,dudx = 2,v ;times; l(-sin(u)r);times;sec^2(x) = -2,cos(u),sin(u),sec^2(x)

Passo 5

Para simplificar, usamos a identidade sin(2u)=2sin(u)cos(u). Substituindo u=tan(x), resulta
dydx = -sinl(2,tan(x)r),sec^2(x)

Resposta

y' = -2,sinl(tan(x)r),cosl(tan(x)r),sec^2(x) ou y' = -sinl(2tan(x)r),sec^2(x)

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