Represente graficamente o domínio da função.
f(x, y, z)=1raizx^2-y^2-z^2-1

Passo 1

O enunciado pede para representarmos o domínio da função
f(x,y,z)=1raizx^2-y^2-z^2-1
Como não podemos dividir por zero nem extrair raiz de número não positivo, a condição básica é que o radicando seja estritamente positivo.

Passo 2

Exigimos
x^2-y^2-z^2-1>0
ou, equivalentemente,
x^2-y^2-z^2>1

Passo 3

A superfície dada por
x^2-y^2-z^2=1
é um hiperbolóide de duas folhas, com uma folha para x>=1 e outra para x<=-1. Essa superfície será a fronteira do nosso domínio.

Passo 4

Para um dado valor fixo de x:
se lvert xrvert>1, a desigualdade fica
y^2+z^2<x^2-1,
que é um disco aberto no plano yz de raio raizx^2-1.
se lvert xrvert<=1, não há solução real, pois x^2-1<=0.
Logo, o domínio se compõe de dois componentes desconexos:
– para x>1, discos de raio raizx^2-1 em cada plano x=const;
– para x< -1, discos de raio raizx^2-1 em cada plano x=const.

Passo 5

Graficamente, desenha-se o hiperbolóide de duas folhas x^2-y^2-z^2=1. O domínio é o “volume interno” a esse hiperbolóide (excluindo a própria superfície), ou seja, os dois “túneis” ao longo do eixo x, um para x>1 e outro para x<-1.

Resposta

O domínio de f é
D=(x,y,z)inR^3mid x^2-y^2-z^2>1,
que em termos de geometria corresponde ao interior do hiperbolóide de duas folhas x^2-y^2-z^2=1, para ,x>1 e ,x<-1.

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