Calcule y^prime.
nn y=ln |cossec(3 x) cotan(3 x)|

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = lnl|csc(3x),cot(3x)r|
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia e a derivação de funções do tipo ln|u|, além das derivadas de sin, cos, tan, cot e csc.

Passo 2

Usando a propriedade do logaritmo
ln|AB| = ln|A| + ln|B|,
podemos reescrever
y = lnl|csc(3x)r| ;+;lnl|cot(3x)r|

Passo 3

Agora expressamos csc e cot em termos de sin e cos:
lnl|csc(3x)r| = -lnl|sin(3x)r|, lnl|cot(3x)r| = lnl|cos(3x)r| - lnl|sin(3x)r|
Somando, obtemos
y = lnl|cos(3x)r| ;-; 2,lnl|sin(3x)r|

Passo 4

Derivamos termo a termo, usando ddxln|u| = u'u e a regra da cadeia ( u'=3,u'l|xto3x):
  1. ddx!l[ln|cos(3x)|r] = -sin(3x)cdot3cos(3x) = -3,tan(3x)
  2. ddx!l[-2ln|sin(3x)|r] = -2;cos(3x)cdot3sin(3x) = -6,cot(3x)

Passo 5

Somando as duas parcelas da derivada, chega-se a
y' = -3,tan(3x) ;-; 6,cot(3x)

Resposta

y' = -3,tan(3x) ;-; 6,cot(3x)

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