Calcule y^prime.
y=ln |x^2-42 x+5|

Passo 1

O enunciado dá y = lnl|x^2-42x+5r|. Aqui o conteúdo é derivada de logaritmo de valor absoluto e derivada de quociente. Vamos usar que
l(ln|u(x)|r)' = u'(x)u(x)
e a regra do quociente para u(x)=x^2-42x+5.

Passo 2

Definimos v(x)=x^2-4 e w(x)=2x+5. Então v'(x)=2x e w'(x)=2.
Pela regra do quociente:
u'(x) = v'(x),w(x) - v(x),w'(x)[w(x)]^2 = 2x(2x+5) - 2(x^2-4)(2x+5)^2
Calculando o numerador:
2x(2x+5)=4x^2+10x, 2(x^2-4)=2x^2-8,
4x^2+10x - (2x^2-8) = 2x^2 +10x +8
Logo
u'(x) = 2x^2+10x+8(2x+5)^2

Passo 3

Agora aplicamos l(ln|u|r)'=u'/u:
y' = 2x^2+10x+8(2x+5)^2 x^2-42x+5 = 2x^2+10x+8(2x+5)^2,cdot,2x+5x^2-4 = 2x^2+10x+8(2x+5),(x^2-4)

Passo 4

Fatoramos numerador e denominador:
2x^2+10x+8 = 2(x^2+5x+4)=2(x+1)(x+4), x^2-4=(x-2)(x+2)
Não há cancelamento com 2x+5, então
y' = 2,(x+1)(x+4)(2x+5),(x-2),(x+2)

Resposta

y' = 2,(x+1)(x+4)(2x+5),(x-2),(x+2)

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