Calcule y^prime.
y=cosh ^-1(senh(x))

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y=cosh^-1(sinh(x)). O conteúdo principal aqui é a diferenciação de funções inversas hiperbólicas, usando a regra da cadeia e a derivada de sinh(x).

Passo 2

Para funções do tipo y=cosh^-1(u), vale a fórmula (para u>1)
dydu=1raizu-1,raizu+1
Isto vem da definição da inversa de cosh e das identidades hiperbólicas.

Passo 3

Precisamos também da derivada de u=sinh(x). Sabendo que sinh(x)=e^x-e^-x2, temos
dudx=ddxsinh(x)=cosh(x)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia: como y=cosh^-1(u) com u=sinh(x), temos
dydx=dyducdotdudx=1raizu-1,raizu+1cdotcosh(x)
e, substituindo u=sinh(x):
dydx=cosh(x)raizsinh(x)-1,raizsinh(x)+1

Resposta

y'=cosh(x)raizsinh(x)-1,raizsinh(x)+1

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