Faça um mapa de contorno da função mostrando varias curvas de nível.
f(x, y)=x y, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (as curvas de nível) da função
f(x,y)=x,y, 0<= x<=1,;0<= y<=1
O conteúdo aqui é plotagem de curvas de nível em 2D, que são as curvas onde f(x,y)= constante.

Passo 2

Para cada nível k fixo, a curva de nível satisfaz
x,y = k
ou seja, para x>0
y = kx
No nosso quadrado [0,1]times[0,1], essas curvas são trechos de hipérbolas truncadas.

Passo 3

Escolhemos um conjunto de níveis, por exemplo
kin0,,0,1,,0,2,dots,1
O nível k=0 dá os eixos x=0 e y=0; para k>0 as curvas são y=k/x em [0,1].

Passo 4

Montamos uma malha regular de pontos (xi,yj) em [0,1]times[0,1], calculamos
Zij=xi,yj
e usamos uma biblioteca de plotagem (por exemplo Matplotlib em Python) para desenhar as curvas de nível em diversos valores de k.

Resposta

Segue um exemplo de script em Python usando Matplotlib que gera o mapa de contorno pedido:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# \(1\). Definir domínio
x \(=\) np.linspace(\(0\), \(1\), \(400\))
y \(=\) np.linspace(\(0\), \(1\), \(400\))
X, Y \(=\) np.meshgrid(x, y)

# \(2\). Calcular f(x,y) \(=\) x*y
Z \(=\) X * Y

# \(3\). Definir níveis de contorno
levels \(=\) np.linspace(\(0\), \(1\), \(11\))  # \(0\), \(0.1\), \(0.2\), ..., \(1.0\)

# \(4\). Plotar
plt.figure(figsize\(=\)(\(6,6\)))
cont \(=\) plt.contour(X, Y, Z, level\(s=l\)evels, colors\(=\)'black')
plt.clabel(cont, inline\(=1\), fontsize\(=10\), fmt\(=\)'%.\(1\)f')
plt.title('Mapa de Contorno de \(f(x,y)\(=\)xy\)')
plt.xlabel('\(x\)')
plt.ylabel('\(y\)')
plt.axis('square')
plt.show()
Basta executar este código para obter o mapa de contorno com várias curvas de nível de no quadrado .

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