Calcule y^prime.
y=x^tanh ^-1(raizx)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x^tanh^-1(raizx)
O conteúdo envolve diferenciação de potência em que o expoente depende de x, então vamos usar diferenciação logarítmica e regra da cadeia.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência:
ln y = tanh^-1(raizx) ,ln x

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
y'y = ddxl[tanh^-1(raizx)r];ln x + tanh^-1(raizx);ddx[ln x]

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
ddxl[tanh^-1(raizx)r] = 11-(raizx)^2;ddx[raizx] = 11-x;12raizx = 12raizx,(1-x),
ddx[ln x]=1x
Substituindo,
y'y = ln x2raizx,(1-x) + tanh^-1(raizx)x

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por y, voltamos a y':
y' = y l(ln x2raizx,(1-x) + tanh^-1(raizx)xr) = x^tanh^-1(raizx) l(ln x2raizx,(1-x) + tanh^-1(raizx)xr)

Resposta

y' = x^tanh^-1(raizx) gl(ln x2raizx,(1-x) + tanh^-1(raizx)xgr)

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