Calcule y^prime.
x^2 y^3+3 y^2=x-4 y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^2y^3+3y^2=x-4y
e pede y'=dydx. Para resolver, vamos usar derivação implícita: diferenciar ambos os lados em relação a x, aplicando produto, potência e cadeia sempre que houver y.

Passo 2

Aplicando a derivada em cada termo,
ddxl(x^2y^3r)+ddxl(3y^2r) =ddx(x)-ddx(4y)
Usando produto em x^2y^3 e cadeia em potências de y,
2x,y^3 + x^2cdot3y^2y' + 6y,y' = 1 - 4y'

Passo 3

Agora agrupamos os termos que contêm y':
x^2cdot3y^2y' + 6y,y' +4y' = 1 - 2x,y^3
Fatorando y',
y'l(3x^2y^2 + 6y + 4r) = 1 - 2x,y^3,
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y' = 1 - 2x,y^33x^2y^2 + 6y + 4

Resposta

y' = 1 - 2x,y^33x^2y^2 + 6y + 4

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