Calcule
integral0^1 integral0^3 x y1+y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral0^3x,y1+y^2,dy,dx
O conteúdo aqui é integração de funções de duas variáveis num retângulo. Vamos usar o Teorema de Fubini para separar variáveis e depois integrar.

Passo 2

Como o integrando se separa em x vezes uma função de y, podemos escrever
integral0^1integral0^3x,y1+y^2,dy,dx =l(integral0^1x,dxr),l(integral0^3y1+y^2,dyr)

Passo 3

Para calcular
integral0^3y1+y^2,dy
fazemos a substituição u=1+y^2, logo du=2y,dy. Assim
integraly1+y^2,dy =12integralduu =12lnl|ur|+C =12lnl(1+y^2r)+C
Avaliando de 0 a 3:
integral0^3y1+y^2,dy =12l[ln(1+9)-ln(1+0)r] =12ln(10)

Passo 4

O outro fator é
integral0^1x,dx =l[tfracx^22r]0^1 =tfrac12

Passo 5

Multiplicando os resultados:
l(tfrac12r),l(tfrac12ln(10)r) =tfrac14ln(10)

Resposta

14ln(10)

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